CASOS DE FACTOREO: 2014

CASOS DE FACTOREO:

CASO 1 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN

(Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

7x² + 11x³- 4x⁵ + 3x⁴- x⁸= x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)

El factor común es x².: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

9x³- 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 3x^2.(3x - 2 + 4x³ - 6x⁵)

9x²ab - 3xa²b³+ x²az = xa. (9xb - 3ab² + xz)

36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ = 12x³. (3x - 16x³ - 6 + 5x²)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x² = (x + 1). (3 - 5x + x²)

4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵ = 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶- x⁴)

12x² + 18x³- 24x⁵ + 30x⁴- 6x⁸= 6x². (2 + 3x - 4x³ + 5x² - x⁶)

CASO 2 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN EN GRUPOS

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

      (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =

        (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos.

CASO 3 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x                3

       2.3.x

          6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x²y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dio igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)²

x2   - 10x   +   25 = (x - 5)2

x                   (-5)

       2.(-5).x

         -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto da bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)2.

CASO 4 DE FACTORIZACIÓN CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

(Todos los términos son positivos)

x³   +   6x²  +   12x   +   8 = (x + 2)3

x                                  2

          3.x².2     3.x.2²

           6x²         12x

Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x). El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

(Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27 = (x - 3)3

x                                 -3

      3.x2.(-3)    3.x.(-3)2

        -9x2          27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (-3))³^, que es igual a (x - 3)³

CASO 5 DE FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS

(Fácil)

x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

(Con potencias distintas de 2)

x⁶ - 4 = (x³+ 2).(x³ - 2)

x³  2

x⁶ es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

(Con términos "compuestos")

36x² - a6b⁴= (6x + a³b²).(6x - a³b²)

6x       a³b²

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

x² - y² = (x + y).(x - y)

b² - 1 = (b + 1).(b - 1)

x² - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x⁶ - 4 = (x³ + 2).(x³ - 2)

25 – 36m⁴ (5 + 6m²) (5 – 6m²)

100 – m²n⁶ (10 + mn³) (10 – mn³)

X²Y⁴Z⁶ – 144 = ( XY²Z³ + 12)   ( XY²Z³ - 12)

CASO 6 DE FACTORIZACIÓN SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

(Suma de Potencias Impares)

x⁵ + 32 = (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

x        2

Cociente: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.

Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.

Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios

(Resta de Potencias Impares)

x³ - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

CASO 7 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO X² + B + C

x² + 3x + 2 =

Abres dos paréntesis ( ) donde va la X en cada uno ya que esta elevada al cuadrado

(x    ).(x    )

Los signos los obtienes asi:

x² + 3x + 2 =

        + por +

(x +   ).(x + )

Buscar dos números positivos que multiplicados den 2 y sumados den 3.

Sacas el mínimo común múltiplo de 2   2

                                                           1

Obtienes como resultado el 2 que multiplicado por 1 = a 2 y sumados 2+1= 3

(x + 1).(x + 2) Esta es la factorización de x² + 3x + 2 =

Otro ejemplo:

X⁶ — 13X³ + 42

Tienes X⁶ que se puede factorizar como X³y X³

(X³          )   ( X³           )

Buscamos los signos que llevan dentro del paréntesis

X⁶ — 13X³ + 42

Más por menos = a menos

(X³   —      )   ( X³           )

X⁶ — 13X³ + 42

Menos por más = a menos

(X³     —     )   ( X³     —    )

Buscamos dos números negativos que multiplicados den 42 y sumados de 13

    42   2

    21   3

     7   7

      1



2 * 3 = 6 y   —6 * — 7 = 42   (menos por menos da más)     y (—6) + (— 7) = — 13

El resultado de factorizar mi trinomio X⁶ — 13X³ + 42 = es (X³ — 6 ) * ( X³ — 7 )

CASO 8 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO AX² + B + C

6X² — 10X + 4

(Sacas el número que tienes en tu primer término, en este caso es el 6, pones entre paréntesis toda tu ecuación y divides todo entre el número que sacaste, en este caso es 6, todo para establecer una igualdad y que no modifiques nada)

6X² — 10X + 4

          6 (6X² — 10X + 4)

                6

(Amplificas tu ecuación multiplicando el 6 que tienes afuera por toda la ecuación, solo que en el segundo término, para ahorrar un paso, dejas tus números en este caso 10X y el 6 lo encierras en un paréntesis, queda el segundo termino así; 10X (6). Todo dividido entre 6)

           36X² — 10X(6) + 24

                         6

Factorizar esta ecuación. 6 por 6 = 36, abres dos paréntesis

36X² — 10X(6) + 24

                  6

   (6X        )   (6X     )

Buscas los signos que deben de llevar:

36X² — 10X(6) + 24        36X2 — 10X(6)                    — 10X(6) + 24

                    6

                                           Más por menos da menos (menos por mas da menos)

   (6X   —    ) * (6X —   )

                   6                                     Todo entre 6, que no se te olvide.

Buscamos dos números que multiplicados nos den 24 y sumados nos den 10

mcm. de 24

        24 2

        12 2

          6 2

          3 3

          1

    2 por 2 por 2 = 8 y 8 por 3 = 24   pero sumados 2+2+2+3= 9 estos números no nos sirven. Vamos a volver a buscar nuestro mcm de 24.

      24    4

        6    6

        1

Correcto: (—6) * (—4)= 24 menos por menos da más    y (—6) + (—4) = — 10

   (6X   — 6 ) * (6X — 4 )

                   6

Vamos a eliminar el 6 que están dividiendo por medio de factorizar nuestros términos que tenemos en el paréntesis,

    (6X   — 6 ) * (6X — 4 )

                   6

3(2X — 2) * 2(3X — 2)

                  6

3 por 2 = 6

3(2X — 2) * 2(3X — 2)

                  6

Al quedar eliminado el 6 que dividía, nuestra solución final es:

    (2X — 2) (3X — 2)

Listo

6x² — 11xa — 10a²

Comprobación

(2x — 5a) (3x + 2a)

6x²+ 4xa — 15xa — 10a²

6x2 — 11xa — 10a²

La respuesta correcta es B)



CASO 9 DE FACTOREO CON GAUSS

(Con coeficiente principal distinto de 1)

2x³ - 3x² - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio: k/a

Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),

(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),

(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.

Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:

| 2 -3 -11   6

   |

   |

-2|    -4   14 -6

     2 -7    3 | 0

Cociente: 2x2 - 7x + 3           Resto: 0

Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).

En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x² - 7x + 3 =

Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:

| 2 -7   3

   |

   |

3|     6 -3

     2 -1 | 0

Cociente: (2x - 1)      Resto: 0

Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factorizan usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)

Estos casos son más difíciles de presentar. Estúdialos y practícalos, solo así los dominaras.

(3a-4b)(3a+4b)=

9a² – 16b²

^{25a4 — 30a2b + 9b2}

El primer y tercer términos tiene que tener raíz cuadrada perfecta. 25a⁴ su raíz cuadrada es 5a²; 9b² su raíz cuadrada es 3b. El segundo termino tiene que ser el doble producto de multiplicar las raíces cuadradas obtenidas (5a²) (3b) por 2 = 30 a²b

Este es el resultado (5a² – 3b)²

5x - 3x = 2x

x

x

x

x

x

= 5x

Les restas 3x

x

x

x

x

x

= 2x

Esto es lo que sombreas

x

x

¿Cuál es el duplo de un número aumentado en dos?

Ejemplo: 0,8

Desarrollo

a) El número buscado es : ( n )

b) Planteamiento : .... "el duplo de un número aumentado en dos unidades como 4 es a 7 "

.............. ......... 2 n ...... 4

................ .... -------- = ----

.............. ........n + 2 ......7

c) Multiplicando en cruz:

............... ........ 14 n = 4 n + 8

............... ........ 10 n = 8

.......... ...... .......... ....... 8

.............. .............. .n = -----

............ .............. ......... 10

.............. .............. .n = 0,8 RESPUESTA

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x² + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).

¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.

¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.

¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):

x² + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)

Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):

(x + 2).(x + 1) = x² + x + 2x + 2 = x² + 3x + 2

En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma).

CASOS DE FACTOREO

domingo, 17 de agosto de 2014

conclusiones y recomendaciones

sábado, 16 de agosto de 2014

presentacion y objetivos

Portada

Por: Henry Zhingre

Lic: Lic. Darwin Pugo

Asignatura: Informatica aplicada en la educacion

Quimestre:Primero - Segundo

Curso: 1er de Bachillerato general unificado

Año Lectivo:

2013 - 2014

Fundamentacion